Question

已知數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=

1

2

bn+

1

4

，且b₁=

7

2

，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）如果對(duì)任意n∈N^*，不等式

12k

12+n-2Tn

≥2n-7恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，將已知等式變形可得b_n+1-

1

2

=

1

2

（b_n-

1

2

），從而得到{b_n-

1

2

}成首項(xiàng)b₁-

1

2

=3，公比為q=

1

2

的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可算出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）由等比數(shù)列的求和公式，算出T_n=6（1-

1

2n

）+

n

2

，因此將

12k

12+n-2Tn

≥2n-7等價(jià)變形為k≥

2n-7

2n

，欲使該不等式對(duì)任意n∈N^*恒成立，則k≥（

2n-7

2n

）_max．設(shè)c_n=

2n-7

2n

，研究c_n+1-c_n可得當(dāng)n≥5時(shí)c_n+1＜c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；當(dāng)1≤n＜5時(shí)，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，由此算出c_n的最大值是c₅=

3

32

，從而得到滿足不等式恒成立的實(shí)數(shù)k的范圍為[

3

32

，+∞）．

解答：解：（Ⅰ） 對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1=

1

2

bn+

1

4

，
兩邊都減去

1

2

，得b_n+1-

1

2

=

1

2

bn-

1

4

，即b_n+1-

1

2

=

1

2

（b_n-

1

2

）
∴數(shù)列{b_n-

1

2

}成等比數(shù)列，首項(xiàng)為b₁-

1

2

=3，公比為q=

1

2

              …（3分）
因此，b_n-

1

2

=3×（

1

2

）^n-1，可得b_n=3×（

1

2

）^n-1+

1

2

                  …（5分）
（Ⅱ）∵b_n=3×（

1

2

）^n-1+

1

2

 
∴T_n=3（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）+

1

2

×n=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2

=6（1-

1

2n

）+

n

2

      …（8分）
又∵不等式

12k

12+n-2Tn

≥2n-7恒成立，
∴將T_n表達(dá)式代入，化簡(jiǎn)得k≥

2n-7

2n

對(duì)任意n∈N^*恒成立…（9分）
設(shè)c_n=

2n-7

2n

，則c_n+1-c_n=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n+1

             …（11分）
當(dāng)n≥5時(shí)c_n+1-c_n＜0，得c_n+1＜c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；
當(dāng)1≤n＜5時(shí)c_n+1-c_n＞0，得c_n+1＞c_n，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
∵c₄=

1

16

，c₅=

3

32

，得c₄＜c₅
∴當(dāng)n=5時(shí)，c_n取得最大值

3

32

                   …（13分）
所以，要使k≥

2n-7

2n

對(duì)任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

即滿足不等式

12k

12+n-2Tn

≥2n-7對(duì)任意n∈N^*恒成立的k的取值范圍為[

3

32

，+∞）．      …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出與等比數(shù)列有關(guān)的一個(gè)數(shù)列，求它的通項(xiàng)公式并研究不等式恒成立問(wèn)題．著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和、數(shù)列的單調(diào)性研究和不等式恒成立問(wèn)題的處理等知識(shí)，屬于中檔題．