Question

已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù).若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）

遞減	遞增	遞減	遞增	遞增

其中    
（2）.

試題分析：（1）函數(shù)的定義域為，．設(shè) ，                  
①當時，，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減． 
②當時，（I）由得.
當時，恒成立，
在上單調(diào)遞增． 當時，恒成立，在上單調(diào)遞減．
（II）由得或；.當時，開口向下，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減．
當 ，開口向上，在上恒成立，則在上恒成立，
此時 在上單調(diào)遞增．
（III）由得
若，開口向上，，且，，都在上. 由，即，得或；
由，即，得．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為．  
當時，拋物線開口向下，在
恒成立，即在（0，+恒成立，所以在單調(diào)遞減
綜上所述：

遞減	遞增	遞減	遞增	遞增

其中    
（2）因為存在一個使得，
則，等價于.令，等價于“當 時，”.
對求導，得. 因為，由，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.   
由于，所以，因此.
點評：近幾年新課標高考對于函數(shù)與導數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對數(shù)）函數(shù)的組合復合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數(shù)單調(diào)性、導數(shù)運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數(shù)學思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數(shù)學運算的“力量”與數(shù)學思維的“技巧”完美結(jié)合