已知，
（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）設(shè)cn=bnbn+1，Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求證：Sn≥17n；
（Ⅲ）求證：．
【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)a2和a1及題設(shè)中遞推式求得a3，進(jìn)而求得a4，代入求得b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）整理an+2=4an+1+an得，進(jìn)而求得關(guān)于bn的遞推式，進(jìn)而推斷出bn＞4，且cn=bnbn+1=4bn+1＞17進(jìn)而推斷出Sn=c1+c2++cn≥17n．
（Ⅲ）先看當(dāng)n=1時(shí)把b1和b2代入結(jié)論成立；在看當(dāng)n≥2時(shí)，把（2）中求得的遞推式代入|b2n-bn|，進(jìn)而根據(jù)（2）中Sn≥17n的結(jié)論推斷出|b2n-bn|＜，進(jìn)而根據(jù)|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|使原式得證．
解答：解：（Ⅰ）∵a2=4，a3=17，a4=72，
所以
（Ⅱ）由an+2=4an+1+an
得即
所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn＞4
于是c1=b1，b2=17，cn=bnbn+1=4bn+1＞17（n≥2）
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
（Ⅲ）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立
當(dāng)n≥2時(shí)，有
所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．?dāng)?shù)列的遞推式與不等式，函數(shù)等知識(shí)綜合考查是近幾年高考的熱點(diǎn)，平時(shí)的訓(xùn)練應(yīng)注意知識(shí)的綜合運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(
1
2
)x的圖象上，且數(shù)列{an} 是a1=1，公差為d的等差數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{bn} 是公比為(
1
2
)d的等比數(shù)列；
（2）若公差d=1，以點(diǎn)Pn的橫、縱坐標(biāo)為邊長(zhǎng)的矩形面積為cn，求最小的實(shí)數(shù)t，若使cn≤t（t∈R，t≠0）對(duì)一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對(duì)（2）中的數(shù)列{an}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)3（如在a1與a2之間插入20個(gè)3，a2與a3之間插入21個(gè)3，a3與a4之間插入22個(gè)3，…，依此類(lèi)推），得到一個(gè)新的數(shù)列{dn}，設(shè)Sn是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，試求S1000．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(
1
2
)x的圖象上，且數(shù)列{an} 是a1=1，公差為d的等差數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{bn} 是等比數(shù)列；
（2）若公差d=1，以點(diǎn)Pn的橫、縱坐標(biāo)為邊長(zhǎng)的矩形面積為cn，求最大的實(shí)數(shù)t，使cn≤
1
t
（t∈R，t≠0）對(duì)一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對(duì)（2）中的數(shù)列{an}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入3k-1個(gè)3（如在a1與a2之間插入30個(gè)3，a2與a3之間插入31個(gè)3，a3與a4之間插入32個(gè)3，…，依此類(lèi)推），得到一個(gè)新的數(shù)列{dn}，設(shè)Sn是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，試探究2008是否為數(shù)列{Sn}中的某一項(xiàng)，寫(xiě)出你探究得到的結(jié)論并給出證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(
12
)x圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)an=n（n為正整數(shù)），過(guò)點(diǎn)Pn，Pn+1的直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為cn，試求最小的實(shí)數(shù)t，使cn≤t對(duì)一切正整數(shù)n恒成立；
（Ⅲ）對(duì)（Ⅱ）中的數(shù)列{an}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入3k-1個(gè)3，得到一個(gè)新的數(shù)列{dn}，設(shè)Sn是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，試探究2008是否數(shù)列{Sn}中的某一項(xiàng)，寫(xiě)出你探究得到的結(jié)論并給出證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和an+1=2an+2，且a1=2，數(shù)列{2bn-1}為等比數(shù)列，且b1=2，b4=4
（1）求{an}、{bn}的通項(xiàng)公式
（2）已知cn=an+2，求{cn•bn}的前n項(xiàng)和Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2）．…Pn(an，bn)(n∈N*)都在函數(shù)y=1og
12
x的圖象上．
（1）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn=1-2-n，過(guò)點(diǎn)Pn，Pn+1的值線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積為cn，求最小的實(shí)數(shù)t使cn≤t對(duì)n∈N*恒成立；
（3）若數(shù)列{bn}為由（2）中{an}得到的數(shù)列，在bk與bk+1之間插入3k-1（k∈N*）個(gè)3，得一新數(shù)列{dn}，問(wèn)是否存在這樣的正整數(shù)m，使數(shù)列{dn}的前m項(xiàng)的和Sm=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案