Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方向向量為的直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F，與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)
（1）若點(diǎn)A在x軸的上方，且，求直線l的方程；
（2）若k=1，P（6，0），求△PAB的面積；
（3）當(dāng)k（k∈R且k≠0）變化時(shí)，試求一點(diǎn)C（x，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和a²=b²+c²，即可得到F及A的坐標(biāo)，從而得到k的值，即可得到直線l的方程；
（2）利用點(diǎn)斜式得到直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)，利用即可得到面積；
（3）利用點(diǎn)斜式得到直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線AC和BC的斜率，令其和為0解出x即可．
解答：解：（1）由題意a²=18，b²=9得c=3，∴F（3，0），
∵且點(diǎn)A在x軸的上方，得A（0，3），k=-1，．
直線l：，即直線l的方程為x+y-3=0
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當(dāng)k=1時(shí)，直線l：y=x-3
將直線與橢圓方程聯(lián)立，
消去x得，y²+2y-3=0，解得y₁=-3，y₂=1，
|y₁-y₂|=4，
∴．
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)C（x，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，由題意得，
直線l：y=k（x-3）（k≠0），消去y得，（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
△＞0恒成立，
，

=
∴2kx₁x₂-k（x+3）（x₁+x₂）+6kx=0，
．
解得x=6，所以存在一點(diǎn)（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和a²=b²+c²、點(diǎn)斜式得到直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．