在直角坐標坐標系中,已知一個圓心在坐標原點,半徑為2的圓,從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′,P′為垂足,
(1)求線段PP′中點M的軌跡C的方程;
(2)過點Q(-2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點,設N是過點(,0),且以為方向向量的直線上一動點,滿足(O為坐標原點),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由。

解:(1)設M(x,y)是所求曲線上的任意一點,
P()是方程的圓上的任意一點,則,
則有:,即,
代入得,軌跡C 的方程為;
(2)當直線l的斜率不存在時,與橢圓無交點,
所以設直線l的方程為y=k(x+2),與橢圓交于兩點,
N點所在直線方程為,
得(4+
,
,    

,即,
∴四邊形OANB為平行四邊形,
假設存在矩形OANB,
,即,
,
于是有,得,
設N(),由,
即點N在直線x=-上;
∴存在直線l使四邊形OANB為矩形,直線l的方程為。

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    ,0),且以言
    a
    =(0,1)
    為方向向量的直線上一動點,滿足
    ON
    =
    OA
    +
    OB
    (O為坐標原點),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線Z的方程;若不存在,說明理由.

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