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已知函數f(x)=
2a+1
a
-
1
a2x
，x∈[m，n]（m＜n）．
（1）用函數單調性的定義證明：函數f（x）在[m，n]上單調遞增；
（2）f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求常數a的取值范圍．
（1）∵[m，n]⊆（-∞，0）∪（0，+∞）∴m＜n＜0或0＜m＜n
對?x1、x2∈[m，n]，當x1＜x2時，f(x1)-f(x2)=-
1
a2
(
1
x1
-
1
x2
)=-
1
a2
•
x1-x2
x1x2

∵m＜x1＜x2＜n，
∴x1x2＞0且x2-x1＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[m，n]上單調遞增．
（2）∵f（x）在[m，n]上單調遞增，
∴f（x）在[m，n]上的值域為[f（m），f（n）]
∴f（m）=m且f（n）=n，
∴f（x）=x有兩相異的同號根m、n
即
2a+1
a
-
1
a2x
=x，a2x2-a(2a+1)x+1=0   需
△=a2(2a+1)2-4a2＞0
mn=
1
a2
＞0
，
∴a＞
1
2
或a＜-
3
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數；
（3）是否存在負數x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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