Question

在數(shù)列{a_n}和{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄；
（2）猜想{a_n}，{b_n}的通項公式，并證明你的結(jié)論；
（3）求證：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

2n

n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）令n=1可得2b₁=a₁+a₂，a₂²=b₁b₂，代入條件求出a₂，b₂，同理令n=2，3即可求得a₃，a₄和b₂，b₃，b₄
（2）由（1）猜想：an=

n(n+1)

2

，bn=

(n+1)2

2

．再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即得；
（3）通過分析法先分析，欲證

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

2n

n+1

即證

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

n

n+1

，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（1）令n=1可得2b₁=a₁+a₂，a₂²=b₁b₂，代入條件得：

1 +a2=2×2  a 2 2 =2b2

，解得a₂=3，b2=

9

2

，
同理得a₃=6，b₃=8，a₄=10，b4=

25

2

．（4分）
（2）猜想：an=

n(n+1)

2

，bn=

(n+1)2

2

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊攏=1時，結(jié)論顯然成立
（ⅱ）假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即ak=

1

2

k(k+1)，bk=

1

2

(k+1)2
當n=k+1時，a_k+1=2b_k-a_k=(k+1)2-

1

2

k(k+1)=

1

2

(k+1)(k+2)b_k+1=

a 2 k+1

bk

=

1

2

(k+2)2
所以當n=k+1時，結(jié)論也成立
綜合（ⅰ）（ⅱ）對任意n∈N^*，an=

n(n+1)

2

，b_n=

(n+1)2

2

都成立．（8分）
（3）欲證

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

2n

n+1

即證

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

n

n+1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊攏=1時，左=

1

22

=

1

4

，右=

1

2

，不等式顯然成立
（ⅱ）假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

＜

k

k+1

當n=k+1時

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＜

k

k+1

+

1

(k+2)2

而

k

k+1

+

1

(k+2)2

-

k+1

k+2

=

-1

(k+1)(k+2)2

＜0
所以

k

k+1

+

1

(k+2)2

＜

k+1

k+2

即

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＜

k+1

k+2

則n=k+1時不等式也成立．
綜合（�。�（ⅱ）對任意n∈N^*，都有

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

n

n+1

亦即

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

2n

n+1

．（12分）

點評：本小題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性、數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題或不等式時，要注意由歸納假設(shè)n=k成立推到n=k+1是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．