【題目】在平面直角坐標系中，點，圓，點是圓上一動點，線段的中垂線與線段交于點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點，且存在點（其中不共線），使得被軸平分，證明：直線過定點.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)中垂線性質(zhì)得，即得，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡方程，（2）因為被軸平分，所以，設(shè)坐標代入表示得 ，設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理代入化簡，最后根據(jù)方程恒成立條件得直線過定點.

試題解析：（1）由已知， ，圓的半徑為

依題意有： ，

故點P的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，即

故點P的軌跡E的方程為

（2）令，因A，B，D不共線，故的斜率不為0，可令的方程為： ，則由

得

則 ①

被軸平分，

即，亦即 ②

而 代入②得：

③

①代入③得：

時得： 此時的方程為： 過定點（1，0）

時 ， 亦滿足，此時的方程為：

綜上所述，直線恒過定點（1，0）

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若曲線與曲線在它們的某個交點處具有公共切線,求的值;

（Ⅱ）若存在實數(shù)使不等式的解集為,求實數(shù)的取值范圍

（Ⅲ）若方程有三個不同的解,且它們可以構(gòu)成等差數(shù)列,寫出實數(shù)的值（只需寫出結(jié)果）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】平面中兩條直線l和n相交于O，對于平面上任意一點M，若p，q分別是M到直線l和n的距離，則稱有序非負實數(shù)對（p，q）是點M的“距離坐標”.則下列說法正確的（ ）

A.若p=q=0，則“距離坐標”為（0，0）的點有且僅有一個

B.若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標”為（p，q）的點有且僅有2個

C.若pq≠0，則“距離坐標”為（p，q）的點有且僅有4個

D.若p=q，則點M的軌跡是一條過O點的直線

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我們稱一個非負整數(shù)集合（非空）為好集合,若對任意,或者,或者.以下記為的元素個數(shù).

（Ⅰ）給出所有的元素均小于的好集合;（給出結(jié)論即可）

（Ⅱ）求出所有滿足的好集合;（同時說明理由）

（Ⅲ）若好集合滿足,求證: 中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為（ ）

A. 3B. 2C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，且在直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）設(shè)是曲線上的一點，直線被曲線截得的弦長為，求點的極坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點．

1證明：；

2若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)與常數(shù),若恒成立,則稱為函數(shù)的一個“數(shù)對”;設(shè)函數(shù)的定義域為,且.

（Ⅰ）若是的一個“數(shù)對”,且,求常數(shù)的值;

（Ⅱ）若是的一個“數(shù)對”,求;

（Ⅲ）若是的一個“數(shù)對”,且當, ,求的值及在區(qū)間上的最大值與最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù) ．

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（II）當0<a<2時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．

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