Question

設函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-kx²，（k∈R）．
（1）若x=0是f（x）的極大值點，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）當k∈（

1

2

，1]時，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，再討論①若k≤0，②若0＜k＜

1

2

，③若k=

1

2

，④若k＞

1

2

時的情況，從而求出k的范圍；
（Ⅱ）令g（k）=ln（2k）-k，則g′（k）=

1-k

k

≥0，得g（k）在（

1

2

，1]上遞增，從而ln（2k）＜k，進而ln（2k）∈[0，k]，由（Ⅰ）中④可知當x=ln（2k）時，f（x）取到最小值，求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=x（e^x-2k），
①若k≤0，令f′（x）=0，解得：x=0，
x＞0時，f′（x）＞0，x＜0時，f′（x）＜0，
∴x=0是f（x）的極小值點，不合題意；
②若0＜k＜

1

2

，令f′（x）=0，解得：x=0或x=ln（2k），ln（2k）＜0，
∴f（x）在（-∞，ln（2k）），（0，+∞）遞增，在（ln（2k），0）遞減，
∴x=0是函數(shù)f（x）的極小值點，不合題意；
③若k=

1

2

，f′（x）=x（e^x-1），
x＞0時，f′（x）＞0，x＜0時，f′（x）＞0，
x=0時，f′（x）=0，
∴f（x）在R上遞增，f（x）沒有極值點；
④若k＞

1

2

，令f′（x）=0，解得：x=0或x=ln（2k），ln（2k）＞0，
∴f（x）在（-∞，0），（ln（2k），+∞）遞增，在（0，ln（2k））遞減，
∴x=0是f（x）的極大值點．
（Ⅱ）令g（k）=ln（2k）-k，則g′（k）=

1-k

k

≥0，
∴g（k）在（

1

2

，1]上遞增，
∴g（k）≤ln2-1＜0，
∴l(xiāng)n（2k）＜k，
∴l(xiāng)n（2k）∈[0，k]，
由（Ⅰ）中④可知當x=ln（2k）時，f（x）取到最小值為：
f（ln（2k））=-kln²（2k）+2kln（2k）-2k．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，分類討論思想，是一道綜合題．