Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2bx²+cx-2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x+10
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設g(x)=f(x)+

1

3

mx，若g（x）的極值存在，求實數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g（x）取得極值時對應的自變量x的值．

Answer 1

分析：（1）先求出切點和導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求出b、c；
（2）g（x）的極值存在?g^′（x）=0有兩個不等實數(shù)根，解出即可．

解答：解：（1）∵切線方程是y=5x+10，∴與x軸的交點為（-2，0），即為切點．
∵f^′（x）=3x²+4bx+c，∴

f′(-2)=5 f(-2)=0

即

12-8b+c=5 -8+8b-2c-2=0

，解得

b= 1 2 c=-3

．
∴f（x）=x³+x²-3x-2．
（2）由（1）可知：g（x）=x3+x2+(

1

3

m-3)x-2，
∴g^′（x）=3x2+2x+

1

3

m-3．
∵g（x）的極值存在，∴g^′（x）=0必有兩個不相等的實數(shù)根，即△=4-4m+36＞0，
解得m＜10．
令g^′（x）=0，解得x1=

-3- 10-m

9

，x2=

-3+ 10-m

9

，易知x₁＜x₂．
如列表：由表格可知：當x=x₁=

-3- 10-m

9

時，函數(shù)g（x）取得極大值；
當x=x₂=

-3+ 10-m

9

時，函數(shù)g（x）取得極小值．

點評：熟練掌握利用導數(shù)求切線的斜率和研究函數(shù)的極值是解題的關鍵．