設圓C同時滿足三個條件:①過原點;②圓心在直線y=x上;③截y軸所得的弦長為4,則圓C的方程是 .
【答案】
分析:分圓心C在第一象限和第三象限兩種情況,當圓心C
1在第一象限時,過C
1分別作出與x軸和y軸的垂線,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到四邊形OBCD為正方形,連接C
1A,由題意可知圓C與y軸截得的弦長為4,根據(jù)垂徑定理即可求出正方形的邊長即可得到圓心C的坐標,在直角三角形ABC中,利用勾股定理即可求出AC的長即為圓的半徑,由圓心和半徑寫出圓的方程;當圓心C在第三象限時,同理可得圓C的方程.
解答:解:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
當圓心C
1在第一象限時,過C
1作C
1D垂直于x軸,C
1B垂直于y軸,連接AC
1,
由C
1在直線y=x上,得到C
1B=C
1D,則四邊形OBC
1D為正方形,
∵與y軸截取的弦OA=4,∴OB=C
1D=OD=C
1B=2,即圓心C
1(2,2),
在直角三角形ABC
1中,根據(jù)勾股定理得:AC
1=2
,
則圓C
1方程為:(x-2)
2+(y-2)
2=8;
當圓心C
2在第三象限時,過C
2作C
2D垂直于x軸,C
2B垂直于y軸,連接AC
2,
由C
2在直線y=x上,得到C
2B=C
2D,則四邊形OB′C
2D′為正方形,
∵與y軸截取的弦OA′=4,∴OB′=C
2D′=OD′=C
2B′=2,即圓心C
2(-2,-2),
在直角三角形A′B′C
2中,根據(jù)勾股定理得:A′C
2=2
,
則圓C
1方程為:(x+2)
2+(y+2)
2=8,
∴圓C的方程為:(x-2)
2+(y-2)
2=8或(x+2)
2+(y+2)
2=8.
故答案為:(x-2)
2+(y-2)
2=8或(x+2)
2+(y+2)
2=8
點評:此題綜合考查了角平分線定理,垂徑定理,正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).學生做題時注意分兩種情況,利用數(shù)形結(jié)合的思想,分別求出圓心坐標和半徑,寫出所有滿足題意的圓的標準方程.