Question

已知函數(shù)f（x）=-

2

sin（2x+

π

4

）+6sincosx-2cos²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的對稱軸方程和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先將f（x）進行化簡，整理得到一個角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出f（x）的對稱軸方程和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的最大值和最小值．

解答：解：f（x）=-

2

×

2

2

×（sin2x+cos2x）+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

），
（Ⅰ）令2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得：x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z，即f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z；
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z，
則f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

3π

8

kπ+

7π

8

]k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴-

2

2

≤sin（2x-

π

4

）≤1，
即-2≤sin（2x-

π

4

）≤2

2

，
則f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值分別為2

2

，1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的值域與與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．