Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q，前n項的和S_n，對任意的n∈N^*，S_n＞0恒成立，則公比q的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 q≠1時，由S_n＞0，知a₁＞0，從而$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$＞0恒成立，由此利用分類討論思想能求出公比q的取值范圍．

解答 解：q≠1時，有S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∵S_n＞0，∴a₁＞0，
則$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$＞0恒成立，
①當q＞1時，1-qⁿ＜0恒成立，即qⁿ＞1恒成立，由q＞1，知qⁿ＞1成立；
②當q=1時，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立；
③當q＜1時，需1-qⁿ＞0恒成立，
當0＜q＜1時，1-qⁿ＞0恒成立，
當-1＜q＜0時，1-qⁿ＞0也恒成立，
當q＜-1時，當n為偶數(shù)時，1-qⁿ＞0不成立，
當q=-1時，1-qⁿ＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．
故答案為：（-1，0）∪（0，+∞）．

點評 本題考查等比數(shù)列的公比的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．