Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F(

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，0)，直線l：x=-

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，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（ I） 求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程C；
（ II） 設(shè)圓M過A（1，0），且圓心M在曲線C上，設(shè)圓M過A（1，0），且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)弦長(zhǎng)|TS|是否為定值？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（ I） 判斷動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到拋物線的方程；
（ II）M到y(tǒng)軸的距離為d=|x₀|=x₀，求出圓的半徑，即可表示出弦長(zhǎng)|TS|，利用M（x₀，y₀）∈C，即可得到結(jié)論．

解答：解：（ I） 依題意知，直線l的方程為：x=-

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．…（2分）
且F的坐標(biāo)為（

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，0），
∵點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP，∴RQ是線段FP的垂直平分線．…（4分）
∴|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離．
∵點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線，∴|PQ|=|QF|．…（6分）
故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為：y²=2x（x＞0）．…（8分）
（ II）?M（x₀，y₀）∈C，M到y(tǒng)軸的距離為d=|x₀|=x₀，…（9分）
圓的半徑r=|MA|=

(x0-1)2+y02

，…（10分）
則|TS|=2

r2-d2

=2

y 2 0 -2x0+1

，M（x₀，y₀）∈C…（12分）
由（ I）知y02=2x0，
所以|TS|=2

y 2 0 -2x0+1

=2，是定值．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查軌跡方程，考查圓中弦長(zhǎng)的求解，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．