已知f(x)=數(shù)學(xué)公式(x∈(0,+∞)),存在實(shí)數(shù)a,b,使f(x)滿足:(i)f(x)在(0,2]上是減函數(shù),在[2,+∞)是增函數(shù);
(ii)f(x)的最小值是5.
(1)求a,b的值及f(x)的解析式;
(2)(理科)求y=f(x)的圖象與三直線x=1,x=e及y=0所圍成的圖形面積;
(3)若函數(shù)F(x)=f(x)-c•cosx,當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí)是單調(diào)減函數(shù),求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

解:(1)由f(x)==x++a得,
∵f(x)在(0,2]上是減函數(shù),在[2,+∞)是增函數(shù),
∴函數(shù)f(x)在x=2出取得極小值,也是函數(shù)的最小值,
則f′(2)=0,∴=0,解得b=4,
又∵f(2)=5,∴=5,解得a=1,
;
(2)由題意得,
=;
(3)由題意知,F(xiàn)(x)=f(x)-c•cosx在上是減函數(shù),
對(duì)于恒成立,
,
當(dāng)x=時(shí)有

分析:(1)將解析式化簡(jiǎn)后求出,由條件得f′(2)=0和f(2)=5,求出a和b,再求出函數(shù)的解析式;
(2)由(1)和定積分求出所圍成的圖形面積即可;
(3)將條件轉(zhuǎn)化為:恒成立,再分離出常數(shù)c,求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值,即求出c的范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的關(guān)系,以及定積分求圖形的面積,函數(shù)恒成立問題的轉(zhuǎn)化,和分離常數(shù)法,考查了的范圍較廣,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f (x)=sin (x+
π
2
),g (x)=cos (x-
π
2
),則下列命題中正確的是( 。
A、函數(shù)y=f(x)•g(x)的最小正周期為2π
B、函數(shù)y=f(x)•g(x)是偶函數(shù)
C、函數(shù)y=f(x)+g(x)的最小值為-1
D、函數(shù)y=f(x)+g(x)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-
4
4
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
1,x<0
2,x≥0
,g(x)=
3f(x-1)-f(x-2)
2

(1)當(dāng)1≤x<2時(shí),求g(x);
(2)當(dāng)x∈R時(shí),求g(x)的解析式,并畫出其圖象;
(3)求方程xf[g(x)]=2g[f(x)]的解.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f (x)=2sin(x+
θ
2
)cos(x+
θ
2
)+2
3
cos2(x+
θ
2
)-
3

(1)化簡(jiǎn)f (x)的解析式;
(2)若0≤θ≤π,求θ使函數(shù)f (x)為偶函數(shù);
(3)在(2)成立的條件下,求滿足f (x)=1,x∈[-π,π]的x的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若數(shù)學(xué)公式,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間數(shù)學(xué)公式上的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/769.png' />,若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高三數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練(20)(解析版) 題型:解答題

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214609557716869/SYS201310232146095577168019_ST/2.png">,若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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