Question

求證：

C

0r

C

mn

+

C

1r

C

m-1n

+

C

2r

C

m-2n

+…+

C

mr

C

0n

=

C

mn+r

(n，m，r∈N*，m≤r，m≤n)．

Answer 1

證明：由于

C

mn+r

表示從n+r個(gè)數(shù)中取出m個(gè)數(shù)，可以分為，
先從r個(gè)數(shù)中取0個(gè)數(shù)，再?gòu)氖Ｏ碌膎個(gè)數(shù)中，取出m個(gè)數(shù)；
從r個(gè)數(shù)中取1個(gè)數(shù)，再?gòu)氖Ｏ碌膎個(gè)數(shù)中，取出m-1個(gè)數(shù)；
…
從r個(gè)數(shù)中取m個(gè)數(shù)，再?gòu)氖Ｏ碌膎個(gè)數(shù)中，取出0個(gè)數(shù)，
從而

C

0r

C

mn

+

C

1r

C

m-1n

+

C

2r

C

m-2n

+…+

C

mr

C

0n

=

C

mn+r

(n，m，r∈N*，m≤r，m≤n)