在數(shù)列{an}中，a1＝2，an+1＝λan＋λn+1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；

(Ⅲ)證明存在k∈N*，使得對任意n∈N*均成立．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解法一：，

　　，

　　．

　　由此可猜想出數(shù)列的通項公式為．

　　以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．

　　(1)當時，，等式成立．

　　(2)假設(shè)當時等式成立，即，

　　那么

　　．

　　這就是說，當時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何都成立．

　　解法二：由，，

　　可得，

　　所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為．

　　(Ⅱ)解：設(shè)，①

　　②

　　當時，①式減去②式，

　　得，

　　．

　　這時數(shù)列的前項和．

　　當時，．這時數(shù)列的前項和．

　　(Ⅲ)證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明：

　　．③

　　由知，要使③式成立，只要，

　　因為

　　

　　．

　　所以③式成立．

　　因此，存在，使得對任意均成立．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項和Sn=n2an，求an+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Tn，證明：．

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