Question

稱數列{a_n+1-a_n}為數列{a_n}的一階差數列．若數列{a_n}中，a₁=3，a₄=24．且{a_n+1-a_n}的一階差數列為常數列2，2，2，…．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設，求證：對一切n∈N₊，．

Answer 1

（1）解：由于數列{a_n+1-a_n}的一階差數列為常數列2，2，2，…，知數列{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數列．
由（a₄-a₃）-（a₃-a₂）=2，（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=2得a₂=8，a₃=15．（4分）
（2）解：數列{a_n+1-a_n}是首項為5，公差為2的等差數列，
n≥2時，
∴，（8分）
而a₁=3也恰適合以上通項公式，故（9分）
（3）證明：對一切n∈N₊，
==（13分）
分析：（1）確定數列{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數列，即可求得結論；
（2）數列{a_n+1-a_n}是首項為5，公差為2的等差數列，由此可求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）利用裂項法求和，即可證得結論．
點評：本題考查新定義，考查等差數列的證明，考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．