Question

已知函數(shù)f（x）=kx²+（k-1）x（k為常數(shù)）
（1）若k=2，解不等式f（x）＞0；
（2）若k＞0，解不等式f（x）＞0；
（3）若k＞0，且對(duì)于任意x∈[1，+∞），總有g(shù)（x）=

f(x)+1

x

≥1成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若k=2，則不等式f（x）＞0可化為2x²+x＞0，由此能夠求出不等式f（x）＞0的解．
（2）若k＞0，則不等式f（x）＞0可轉(zhuǎn)化為kx•（x-

1-k

k

）＞0，分0＜k＜1，k＞1，k=0三種情況，能夠求出不等式f（x）＞0的解．
（3）因?yàn)閗＞0，x＞0，所以g(x)=

f(x)+1

x

=kx+

1

x

+k-1≥2

kx• 1 x

+k-1=2

k

+k-1，當(dāng)且僅當(dāng)kx=

1

x

（x＞0），即x=

1 k

時(shí)取等號(hào)，由此入手能夠求出k的取值范圍．

解答：解：（1）若k=2，則不等式f（x）＞0可化為2x²+x＞0，
解之，得{x|x＞0，或x＜-

1

2

}．
（2）若k＞0，則不等式f（x）＞0可轉(zhuǎn)化為kx•（x-

1-k

k

）＞0，
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，

1-k

k

＞0，此時(shí)x＞

1-k

k

或x＜0，
當(dāng)k＞1時(shí)，

1-k

k

＜0，此時(shí)x＜

1-k

k

，或x＞0．
當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=x²＞0，此時(shí)x≠0，
綜上所述：當(dāng)0＜k＜1時(shí)，x∈(-∞，0)∪(

1-k

k

，+∞)，
當(dāng)k＞1時(shí)，

1-k

k

＜0，此時(shí)，x∈(-∞，

1-k

k

)∪(0，+∞)，
當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=x²＞0，
此時(shí)，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
（3）因?yàn)閗＞0，x＞0，
所以g(x)=

f(x)+1

x

=kx+

1

x

+k-1≥2

kx• 1 x

+k-1=2

k

+k-1，
當(dāng)且僅當(dāng)kx=

1

x

（x＞0），即x=

1 k

時(shí)取等號(hào)，
又x∈[1，+∞），所以當(dāng)0＜k≤1時(shí)，x=

1 k

∈[1，+∞），上述等到可以取到．
此時(shí)，由2

k

+k-1≥ 1，得k≥4-2

3

，
∵0＜k≤1，故k∈[4-2

3

，1]；
當(dāng)k＞1，x=

1 k

∈[1，+∞），上述等號(hào)取不到，
此時(shí)g（x）=

f(x)+1

x

=kx+

1

x

+k-1在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故g（x）_min=g（1）=2k，
由2k≥1，得k≥

1

2

，∵k＞1，∴k∈[1，+∞），
綜上可知k∈[1-2

3

，1]∪[1，+∞）=[4-2

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題的靈活運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．