Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sin(

x

2

+

π

4

)cos(

x

2

+

π

4

)-sin(x+π)
（I ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象按向量

a

=(

π

6

，0)平移得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)區(qū)間及值域．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，從而可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用向量平移規(guī)律，可得函數(shù)g（x）的解析式，從而可求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)區(qū)間及值域

解答：解：（I）f(x)=

3

sin(x+

π

2

)+sin

x

…（2分）
=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2sin(x+

π

3

)…（4分）
所以f（x）的最小正周期為2π…（5分）
（Ⅱ）∵將f（x）將f（x）的圖象按向量

a

=(

π

6

，0)平移，得到函數(shù)g（x）的圖象．
∴g(x)=f(x-

π

6

)=2sin[(x-

π

6

)+

π

3

]=2sin(x+

π

6

)…（9分）
∵x∈[0，π]，x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[0，

π

3

]，減區(qū)間為[

π

3

，π]
∵sin(x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴2sin(x+

π

6

)∈[-1，2]
∴函數(shù)g（x）值域[-1，2]…（10分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．