分析:設出三角形的三邊分別為a,b,c,根據(jù)正弦定理把已知的等式化簡,然后由G為三角形的重心,根據(jù)中線的性質(zhì)及向量的加法法則分別表示出
,
和
,代入化簡后的式子中,然后又根據(jù)
等于
加
,把上式進行化簡,最后得到關(guān)于
和
的關(guān)系式,由
和
為非零向量,得到兩向量前的系數(shù)等于0,列出關(guān)于a,b及c的方程組,不妨令c=56,即可求出a與b的值,然后根據(jù)余弦定理表示出cosB,把a,b,c的值代入即可求出cosB的值,由B的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到B的度數(shù).
解答:解:因為
(56sinA)+(40sinB)+(35sinC)=設三角形的邊長順次為a,b,c,根據(jù)正弦定理得:
56a
+40b
+35
=
,
由點G為三角形的重心,根據(jù)中線的性質(zhì)及向量加法法則得:
3
=
+
,3
=
+
,3
=
+
,
代入上式得:56a(
+
)+40b(
+
)+35c(
+
)=
,
又
=
+
,上式可化為:
56a(2
+
)+40b(
+
)+35c(-
+2
)=
,
即(112a-40b-35c)
+(-56a-40b+70c)
=
,
則有
| 112a-40b-35c=0① | -56a-40b+70c=0② |
| |
,
①-②得:168a=105c,即a:c=35:56,
設a=35k,c=56k,代入①得到b=49k,
所以cosB=
=
(352+562-492)k2 |
2(35×56)k2 |
=
,又B∈(0,180°),
則B=60°.
故選D
點評:此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值,掌握向量的加法法則及中線的性質(zhì),是一道中檔題.