Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

3an+1

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）計算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=

an

3an+1

，即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想a_n=

1

3n-2

；分二步證明即可：①當(dāng)n=1時，去證明等式成立；②假設(shè)n=k時，等式成立，去推證n=k+1時，等式也成立即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=

an

3an+1

，
∴a₂=

a1

3a1+1

=

1

4

；
a₃=

a2

3a2+1

=

1 4

3 4 +1

=

1

7

，a₄=

1 7

3 7 +1

=

1

10

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：a_n=

1

3n-2

．
證明：①當(dāng)n=1時，a₁=1，等式成立；
②假設(shè)n=k時，a_k=

1

3k-2

，
則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=

ak

3ak+1

=

1 3k-2

3× 1 3k-2 +1

=

1

3k+1

=

1

3(k+1)-2

，
即n=k+1時，等式也成立．
綜上所述，對任意自然數(shù)n∈N^*，a_n=

1

3n-2

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，猜得a_n=

1

3n-2

是關(guān)鍵，考查運算與推理證明的能力，屬于中檔題．