Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（I）當(dāng)0＜a＜，x∈[-1，1]時(shí)，f（x）的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值．
（II）如果x∈[0，1]時(shí)，總有|f（x）|≤1．試求a的取值范圍．
（III）令a=1，當(dāng)x∈[n，n+1]（n∈N^*）時(shí)，f（x）的所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為g（n），數(shù)列的前n項(xiàng)的和為T_n，求證：T_n＜7．

Answer 1

【答案】分析：（I）找出二次函數(shù)的對稱軸，利用對稱軸和區(qū)間的關(guān)系以及最小值就可求出實(shí)數(shù)a的值；
（II）轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，借助于關(guān)于x的函數(shù)的最值來求a的取值范圍即可．
（III）先利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出在[n，n+1]上的單調(diào)性，進(jìn)而求出g（n），以及數(shù)列的表達(dá)式，再利用錯位相減法求和．即可證得T_n＜7．
解答：解：（1）由知，
故當(dāng)x=-1時(shí)f（x）取得最小值為，
即，∴
（2）由|f（x）|≤1得|ax²+x|≤1，
-1≤ax²+x≤1對于任意x∈[0，1]恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，則|f（x）|≤1恒成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，有
對于任意的x∈（0，1]恒成立；∵，
則，故要使①式恒成立，
則有a≤0，又a≠0∴a＜0；又，
則有a≥-2，
綜上所述：-2≤a＜0．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ax²+x，則此二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上，
故f（x）在[n，n+1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
且當(dāng)x=n，n+1時(shí)，f（n），f（n+1）均為整數(shù)，
故g（n）=f（n+1）-f（n）+1=（n+1）²+（n+1）-n²-n+1=2n+3?（n∈N^*），
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
故①
又②
由①-②得
∴，
∴T_n＜7．
點(diǎn)評：本題是對數(shù)列和二次函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，涉及到錯位相減法求和..錯位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．