Question

（考生注意：請在下面兩題中任選一題作答，如果都做，則按所做第1題評分）
（1）（坐標系與參數方程選做題）
曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）上的點到曲線C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

(t為參數)上的點的最短距離為

1

．
（2）（幾何證明選講選做題）
如圖，已知：△ABC內接于圓O，點D在OC的延長線上，AD是圓O的切線，若∠B=30°，AC=1，則AD的長為

3

．

Answer 1

分析：（1）把曲線C₁和曲線C₂的方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離，將此距離減去半徑，即得所求．
（2）根據同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系，得到∠AOC=60°，根據含有60°角的等腰三角形是一個等邊三角形，可得△AOC是等邊三角形，從而得到OA=AC=1，利用勾股定理求得AD的長．

解答：解：（1）曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）消去參數，化為普通方程為 （x-1）²+y²=1，表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓．
曲線C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

(t為參數)即 x+y+2

2

-1，表示一條直線．
圓心到直線的距離等于

|1+0+2 2 -1|

2

=2，故曲線C₁：上的點到到曲線C₂的距離最小值等于2-1=1，
故答案為 1．
（2）：∵∠B=30，∠AOC與∠B同時對應著弧AC，∴∠AOC=60°．
∵OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，∴OA=AC=1，
∵∠OAD=90°，∠D=30°，AD=

3

AO=

3

，
故答案為

3

．

點評：本題考查把參數方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系的應用．以及和圓有關的比例線段，考查同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，
本題解題的關鍵是應用含有30°角的直角三角形的性質做出有關的數據，是一個基礎題．