Question

（2006•廣州一模）已知sin

α

2

-cos

α

2

=

5

5

，α∈(

π

2

，π)，tanβ=

1

2

．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知等式sin

α

2

-cos

α

2

=

5

5

左右兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，即可求出sinα的值；
（Ⅱ）由sinα及α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，再利用基本關(guān)系求出tanα的值，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan（α-β），將tanα及tanβ的值代入即可求出tan（α-β）的值．

解答：解：（Ⅰ）等式sin

α

2

-cos

α

2

=

5

5

左右兩邊平方得：
（sin

α

2

-cos

α

2

）²=sin²

α

2

+cos²

α

2

-2sin

α

2

cos

α

2

=1-sinα=(

5

5

)2=

1

5

，
∴sinα=

4

5

；
（Ⅱ）∵sinα=

4

5

，α∈（

π

2

，π），
∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

5

，
∴tanα=

sinα

cosα

=-

4

3

，又tanβ=

1

2

，
∴tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

- 4 3 - 1 2

1+(- 4 3 )× 1 2

=-

11

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．