(08年福州質(zhì)檢二文)(12分)

如圖,直三棱柱A1B1C1―ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點(diǎn).

    (Ⅰ)求與平面A1C1CA所成角的大;

    (Ⅱ)求二面角B―A1D―A的大小;

    (Ⅲ)點(diǎn)F是線段AC的中點(diǎn),證明:EF⊥平面A1BD.

解析:(Ⅰ)連接A1C.∵A1B1C1-ABC為直三棱柱,∴CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥BC.

    ∵AC⊥CB,∴BC⊥平面A1C1CA. ………………1分

    ∴與平面A1C1CA所成角,

.

與平面A1C1CA所成角為.………3分

 

(Ⅱ)分別延長(zhǎng)AC,A1D交于G. 過(guò)C作CM⊥A1G 于M,連結(jié)BM,

    ∵BC⊥平面ACC­1A1,∴CM為BM在平面A1C1CA內(nèi)的射影,

    ∴BM⊥A1G,∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角,………………………5分

    平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D為C1C的中點(diǎn),

    ∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,.……7分

    即二面角B―A1D―A的大小為.……………………8分

(Ⅲ)證明:∵A1B1C1―ABC為直三棱柱,∴B1C1//BC,

∵由(Ⅰ)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA,

∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F,∵F為AC中點(diǎn),

∴C1F⊥A1D,∴EF⊥A1D.……………………11分

同理可證EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD.……………………12分

解法二:

(Ⅰ)同解法一……………………3分

(Ⅱ)∵A1B1C1―ABC為直三棱柱,C1C=CB=CA=2,

AC⊥CB,D、E分別為C1C、B1C1的中點(diǎn).

建立如圖所示的坐標(biāo)系得:

 

C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),

C1(0,0,2), B1(2,0,2), A­1(0,2,2),

D(0,0,1), E(1,0,2).………………6分

,設(shè)平面A1BD的法向量為,

  .…………6分

平面ACC1A1­的法向量為=(1,0,0),.………7分

即二面角B―A1D―A的大小為.…………………8分

(Ⅲ)證明:∵F為AC的中點(diǎn),∴F(0,1,0),.……10分

由(Ⅱ)知平面A1BD的一個(gè)法向量為,∴//n . ……11分

EF⊥平面A1BD.…………………………………12分  

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足關(guān)系: .

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(Ⅰ)一次射擊后,三人都射中目標(biāo)的概率是多少?

(Ⅱ)用隨機(jī)變量表示三個(gè)人在一次射擊后射中目標(biāo)的次數(shù)與沒(méi)有射中目標(biāo)的次數(shù)之差的絕對(duì)值.求證的取值為1或3,并求時(shí)的概率.

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A.-2             B.2             C.-3             D.3

    A.1             B.2             C.3             D.4

 

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A.(-3,1)                     B.(1,+

 C.(-,-3)(1,+)    D.(-,-1)(3,+

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