Question

已知函數(shù)，x∈[0，1]，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）設(shè)a≥1，函數(shù)g（x）=x³-3ax-2a，x∈[0，1]，若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得，
令f′（x）=0解得，
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以，當(dāng)時，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)時，f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）的值域為[-4，-3]。
（2）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)，得，
∵a≥1，當(dāng)x∈（0，1）時，，
因此當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）為減函數(shù)，
從而當(dāng)x∈[0，1]時有，
又，
即當(dāng)x∈[0，1]時有，
任給，
則，
即，
又a≥1，所以a 的取值范圍為。