Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₂=5，a₄+a₆=22，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求a_n及S_n； 
（2）若f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n）（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由已知可解得a₁，d的值，從而可求a_n及S_n； 
（2）由（1）及已知可求得b_n=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，從而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d
∵a₂=5，a₄+a₆=22，
∴a₁+d=5，2a₁+8d=22，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=2n+1，S_n=n²+2n．
（2）∵f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n），
∴b_n=

1

an2-1

，
∵a_n=2n+1∴an2-1=4n(n+1)，
∴b_n=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．