已知∠A、∠B是△ABC的兩個內(nèi)角，向量
m
=(cos
A-B
2
)
i
+(
5
2
sin
A+B
2
)
j
，其中
i
， 
j
為相互垂直的單位向量．若|
m
|=
3
2
4
，證明：tanAtanB=
1
9
．
分析：根據(jù)|
m
|=
3
2
4
 可得 cos2
A-B
2
+
5
4
sin2
A+B
2
=
9
8
，利用半角公式化簡可得cos(A-B)-
5
4
cos(A+B)=0，再利用兩角和差的余弦公式化簡可得
9
4
sinAsinB=
1
4
cosAcosB，由同角三角函數(shù)的基本關系求得tanAtanB=
1
9
．
解答：證明：∵|
m
|=
3
2
4
，∴cos2
A-B
2
+
5
4
sin2
A+B
2
=
9
8
，
∴
1+cos(A-B)
2
+
5
4
×
1-cos(A+B)
2
=
9
8
，即cos(A-B)-
5
4
cos(A+B)=0，
∴cos(A-B)=
5
4
cos(A+B)，即cosAcosB+sinAsinB=
5
4
cosAcosB-
5
4
sinAsinB，
∴
9
4
sinAsinB=
1
4
cosAcosB，∴tanAtanB=
1
9
．
點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，求向量的模的方法，求出cos(A-B)=
5
4
cos(A+B)，是解題的關鍵．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：湖北省荊州中學2008高考復習立體幾何基礎題題庫一(有詳細答案)人教版 人教版 題型：013

已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個不重合的平面，下面六個命題：

①a∥c，b∥ca∥b；

②a∥r，b∥ra∥b；

③α∥c，β∥cα∥β；

④α∥r，β∥rα∥β；

⑤a∥c，α∥ca∥α；

⑥a∥r，α∥ra∥α．

其中正確的命題是

[　　]
A．

①④

B．

①④⑤

C．

①②③

D．

①⑤⑥

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科目：高中數(shù)學 來源：“伴你學”新課程　數(shù)學·必修3、4(人教B版) 人教B版 題型：044

已知a，b是兩個非零向量，判斷下列各命題的真假，并說明理由．

(1)2a的方向與a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍．

(2)－2a的方向與5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的倍．

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科目：高中數(shù)學 來源：天津市新人教A版數(shù)學2012屆高三單元測試29：點線面之間的關系 題型：013

已知a，b是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，下列命題中正確的是

[　　]
A．

a∥b，b∥α，則a∥α

B．

a，bα，a∥β，b∥β，則α∥β

C．

a⊥α，b∥α，則a⊥b

D．

當，且時，若b∥α，則a∥b

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B是拋物線y2=2px(p＞0)上兩點,O為坐標原點,若|OA|=|OB|,且△AOB的重心恰是此拋物線的焦點F,則直線AB的方程是(    )

A.x=p                      B.x=3p

C.x=p                  D.x=p

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河南省高三高考適應性考試理科數(shù)學試卷（一）（解析版） 題型：選擇題

已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b一c）=0，則|c|的最大值是

A．1                B．             C．2                D．

 

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