Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，F(xiàn)為棱BB₁的中點(diǎn)，M為線段AC₁的中點(diǎn)．
求證：
（Ⅰ）直線MF∥平面ABCD；
（Ⅱ）平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)C₁F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由三角形的中位線的性質(zhì)可得MF∥AN，從而證明MF∥平面ABCD．
（2）由A₁A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁A₁，由DANB為平行四邊形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC₁A₁，從而證得平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

解答：（本小題滿(mǎn)分12分）
證明：（Ⅰ）延長(zhǎng)C₁F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接AN．因?yàn)镕是BB₁的中點(diǎn)，
所以，F(xiàn)為C₁N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)．又M是線段AC₁的中點(diǎn)，
故MF∥AN．又MF不在平面ABCD內(nèi)，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．
（Ⅱ）連BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，
可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A₁A=A，
AC，A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因?yàn)镹A?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，同時(shí)考查了空間想象能力，推理論證的能力，屬于中檔題．