Question

已知集合M_D是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立．
（Ⅰ） 當(dāng)D=R時(shí)，f（x）=x是否屬于M_D？說(shuō)明理由；
（Ⅱ） 當(dāng)D=[0，+∞）時(shí)，函數(shù)屬于M_D，求k的取值范圍；
（Ⅲ） 現(xiàn)有函數(shù)f（x）=sinx，是否存在函數(shù)g（x）=kx+b（k≠0），使得下列條件同時(shí)成立：
①函數(shù)g（x）∈M_D；
②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
③方程f（g（x））=g（f（x））在區(qū)間[0，2π）上有且僅有一解．若存在，求出滿(mǎn)足條件的k和b；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|得到其小于等于2|x₁-x₂|，即可說(shuō)明其成立．（當(dāng)然也可以取其它k值）
（Ⅱ）直接對(duì)進(jìn)行整理，根據(jù)其取值范圍即可得到k的取值范圍；
（Ⅲ）先根據(jù)（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）屬于M_D，再借助于t是g（x）=0的根，以及f（g（t））=g（f（t）），得到g（x）=kx；最后根據(jù)k符合題意，則-k也符合題意，只需要借助與第三個(gè)要求求出k＞0時(shí)對(duì)應(yīng)的范圍，再綜合即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）屬于M_D．
事實(shí)上，對(duì)任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|≤2|x₁-x₂|，
故可取常數(shù)k=2滿(mǎn)足題意，因此f（x）∈M_D．
（Ⅱ）∵在[0，+∞）為增函數(shù)
∴對(duì)任意x₁，x₂∈[0，+∞）有=
（當(dāng)x₁=0，x₂→0時(shí)取到），所以，此即為所求．
（Ⅲ）存在．
事實(shí)上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）屬于M_D．
∵t是g（x）=0的根∴，
又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx
若k符合題意，則-k也符合題意，故以下僅考慮k＞0的情形．
設(shè)h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，
①若k≥1，則
由，
且，
所以，在中另有一根，矛盾．
②若，
則=sin2kπ-ksin2π＜0，
所以在中另有一根，矛盾．∴．
以下證明，對(duì)任意符合題意．
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由y=sinx圖象在連接兩點(diǎn)（0，0），（x，sinx）的線(xiàn)段的上方知sinkx＞ksinx
∴h（x）＞0．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，．
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．
從而h（x）=0有且僅有一個(gè)解x=0，∴g（x）=kx在滿(mǎn)足題意．
綜上所述：為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題是在新定義下對(duì)函數(shù)恒成立問(wèn)題的考查，第三問(wèn)比較麻煩，建議程度較差的學(xué)生直接略過(guò)，只須看前兩問(wèn)即可．