Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+x+1

1+x2

+a（ a∈R）是奇函數(shù)，則f（x）的最大值為

1

2

．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f（x）=

x2+x+1

1+x2

+a是奇函數(shù)，我們根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可以求出a的值，進而求出函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合基本不等式即可求出f（x）的最大值．

解答：解：若函數(shù)f（x）=

x2+x+1

1+x2

+a（ a∈R）是奇函數(shù)，
由于函數(shù)的定義域為R
∴f（0）=0
則a=-1
∴f（x）=

x2+x+1

1+x2

-1=

x

1+x2

=

1

1 x +x

∵

1

x

+x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
∴f（x）∈[-

1

2

，0）∪（0，

1

2

]
故函數(shù)f（x）的最大值為

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，求出參數(shù)a的值，是解答本題的關(guān)鍵．