Question

（2011•揭陽一模）已知直線l：y=x+m，m∈R．
（1）若以點M（2，-1）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在x軸上，求該圓的方程；
（2）若直線l關于x軸對稱的直線l′與拋物線C：x2=

1

m

y相切，求直線l的方程和拋物線C的方程．

Answer 1

分析：（1）解法1：確定點P的坐標，進而可求圓的半徑，從而可求圓的方程；
解法2：利用待定系數法求本題中圓的方程是解決本題的關鍵，利用直線與圓相切的數學關系列出關于圓的半徑的方程，通過求解方程確定出所求圓的半徑，進而寫出所求圓的方程；
（2）解法1：設出直線為l'的方程利用直線與拋物線的位置關系解決該題，將幾何問題轉化為代數方程組問題，注意體現方程有幾個解的思想；
解法2：利用導數求切線，從而可直線l的方程和拋物線C的方程．

解答：解：（1）解法1：依題意得點P的坐標為（-m，0）．-------（1分）
∵以點M（2，-1）為圓心的圓與直線l相切與點P，
∴MP⊥l．kMP•kl=

0-(-1)

-m-2

•1=-1，解得m=-1．----（3分）
∴點P的坐標為（1，0）．
設所求圓的半徑r，則r²=|PM|²=1+1=2，------------------------------------（5分）
∴所求圓的方程為（x-2）²+（y+1）²=2．--------------------------------------（6分）
解法2：設所求圓的方程為（x-2）²+（y+1）²=r²，--------------------------------（1分）
依題意知點P的坐標為（-m，0）．----------------------------------------------（2分）
∵以點M（2，-1）為圓心的圓與直線l相切于點P（-m，0），
∴

(2+m)2+12=r2 |2+1+m| 2 =r

解得

m=-1 r= 2

-------------------------------------------（5分）
∴所求的圓的方程為（x-2）²+（y+1）²=2．------------------------------------（6分）】
（2）解法1：將直線方程y=x+m中的y換成-y，可得直線l'的方程為y=-x-m．----------------------------（7分）
由

x2= 1 m y y=-x-m

得mx²+x+m=0，（m≠0）-----------------------------------（9分）
△=1-4m²，--------------------------------------------------------------（10分）
∵直線l'與拋物線C：x2=

1

m

y相切
∴△=0，解得m=±

1

2

．----------------------------------------------------（12分）
當m=

1

2

時，直線l的方程為y=x+

1

2

，拋物線C的方程為x²=2y，-------------（13分）
當m=-

1

2

時，直線l的方程為y=x-

1

2

，拋物線C的方程為x²=-2y．----------（14分）
解法2：將直線方程y=x+m中的y換成-y，可得直線l'的方程為y=-x-m．-----（7分）
設直線l'與拋物線C：x2=

1

m

y相切的切點為（x₀，y₀），---------------------------（8分）
由y=mx²得y'=2mx，則2mx₀=-1---①-----------------------------------（10分）
y₀=-x₀-m------②y0=m

x

2 0

．---------③
①②③聯(lián)立得

1

4m

=

1

2m

-m⇒m2=

1

4

⇒m=±

1

2

，----------------------------（12分）
當m=

1

2

時，直線l的方程為y=x+

1

2

，拋物線C的方程為x²=2y，-------------（13分）
當m=-

1

2

時，直線l的方程為y=x-

1

2

，拋物線C的方程為x²=-2y．----------（14分）】

點評：本題考查直線與圓的位置關系，直線與拋物線的位置關系，考查學生對直線與圓相切，直線與拋物線相切的問題的轉化方法，考查學生的方程思想和運算化簡能力，屬于中檔題．