Question

已知函數(shù)f（x）=4sin²（x+）+4sin（x+）sin（x-）-2．
（I）求函數(shù)f（x）在[0，]上的值域；
（Ⅱ）若對于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x）恒成立，求sin（2x）．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用利用降冪公式、兩角和與差的正弦公式及輔助角公式可將y=f（x）轉化為f（x）=4sin（2x-）-1，再利用復合三角函數(shù)的單調性即可求得函數(shù)f（x）在[0，]上的值域；
（Ⅱ）依題意知，f（x）是f（x）的最大值，從而可求得2x=2kπ+（k∈Z），繼而可得sin（2x）．
解答：解：（I）∵f（x）=4sin²（x+）+4sin（x+）sin（x-）-2．
=2[1-cos（2x+）]+4（sinx+cosx）（sinx-cosx）-2
=2+2sin2x+sin²x-3cos²x-2
=2sin2x-2cos2x-1
=4sin（2x-）-1…4分
∴x∈[0，]，
∴2x-∈[-，]，
∴-≤sin（2x-）≤1，
∴-3≤f（x）≤3，
∴函數(shù)f（x）在[0，]上的值域為[-3，3]…8分
（Ⅱ）∵對于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x）恒成立，
∴f（x）是f（x）的最大值，
因此2x-=2kπ+（k∈Z），
∴2x=2kπ+（k∈Z），
∴sin（2x）=sin（2kπ+-）=sin=…12分
點評：本題考查降冪公式、兩角和與差的正弦公式及輔助角公式，考查復合三角函數(shù)的單調性及正弦函數(shù)的性質，考查三角函數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．