Question

（2012•湖北模擬）給定函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0．
（1）a=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1），求導(dǎo)函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，令f'（x）=0，可知△=4-8a＞0，再進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極值點(diǎn)．

解答：解：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1）
求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=2x+

-4

x+1

=

2x2+2x-4

x+1

（2分）
令f'（x）=0，x²+x-2=0，∴x₁=-2（舍去）或x₂=1
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）（5分）
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

（7分）
令f'（x）=0，則2x²+2x+a=0，

∵a＜ 1 2

，∴△=4-8a＞0
①當(dāng)a＜0時(shí)，x1=

-1- 1-2a

2

＜-1，x2=

-1+ 1-2a

2

＞0

x	（-1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

∴當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）有唯一極小值點(diǎn)x2=

-1+ 1-2a

2

（11分）
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，-1＜x1＜x2

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴函數(shù)f（x）有極大值點(diǎn)為x1=

-1- 1-2a

2

＜-1，極小值為x2=

-1+ 1-2a

2

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，屬于中檔題．