Question

（2014•江門模擬）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2+ax+1，x∈R，a是常數(shù)．
（1）當(dāng)a=-8時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明，?a∈（-24，-10），函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上有且僅有一個零點．

Answer 1

分析：（1）a=-8時，求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），由f′（x）＞0，得f（x）單調(diào)遞增；f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
（2）（方法一）由根的存在性定理判定f（x）在[-4，4]上有零點，再利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，從而確定f（x）在[-4，4]上有且只有一個零點．
（方法二）先由f′（x）判定f（x）的增減性，再由根的存在性定理判定f（x）在[-4，4]上有且只有一個零點．

解答：解：（1）a=-8時，f（x）=

1

3

x³+x²-8x+1，x∈R，∴f′（x）=x²+2x-8，
令f′（x）=0，得x₁=-4，x₂=2，
當(dāng)x＜-4時，f′（x）＞0；當(dāng)-4＜x＜2時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-4，2]，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-4）和（2，+∞）；
（2）（方法一）?a∈（-24，-10），f(-4)=-

13

3

-4a＞-

13

3

+40＞0，f(4)=

115

3

+4a＜

115

3

-40＜0，
因為y=f（x）在區(qū)間[-4，4]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（-4）•f（4）＜0，
所以f（x）在區(qū)間[-4，4]上有零點；
解f′（x）=x²+2x+a=0（a∈（-24，-10））得x1=-1-

1-a

＜-4（舍去），x2=-1+

1-a

∈(-4，4)，
當(dāng)-4＜x＜-1+

1-a

時，f′（x）＜0；
當(dāng)-1+

1-a

＜x＜4時，f′（x）＞0；
因為f（4）＜0，所以?x∈[-1+

1-a

，4]，f（x）＜0，f（x）在區(qū)間[-1+

1-a

，4]上無零點；
f(-4)•f(-1+

1-a

)＜0，f（x）在[-4，-1+

1-a

]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間[-4，-1+

1-a

]上有且只有一個零點，從而在區(qū)間[-4，4]上有且只有一個零點．
（方法二）f′（x）=x²+2x+a，解f′（x）=x²+2x+a=0得x1=-1-

1-a

＜-4（舍去），x2=-1+

1-a

∈(-4，4)；
當(dāng)-4＜x＜-1+

1-a

時，f′（x）＜0；
當(dāng)-1+

1-a

＜x＜4時，f′（x）＞0；
因為f(4)=

115

3

+4a＜

115

3

-40＜0，
所以?x∈[-1+

1-a

，4]，f（x）＜0，f（x）在區(qū)間[-1+

1-a

，4]上無零點．
因為f（0）=1＞0，f(0)f(-1+

1-a

)＜0，所以f（x）在區(qū)間[0，-1+

1-a

]上有零點．
因為f（x）在[-4，-1+

1-a

]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間[-4，-1+

1-a

]上有且只有一個零點，從而在區(qū)間[-4，4]上有且只有一個零點．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性研究函數(shù)的零點問題，是易錯題．