Question

已知橢圓的焦距為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)之比為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，T為直線上縱坐標(biāo)不為的任意點(diǎn)，過作的垂線交橢圓于點(diǎn), 若平分線段(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的值；

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意橢圓焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為：，且，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)題意. 設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到的中點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606005816433672/SYS201506260601063990522476_DA/SYS201506260601063990522476_DA.012.png">得到點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程中，解得.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得解得.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是. （5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，點(diǎn)的坐標(biāo)是.

設(shè)直線PQ的方程為，將直線PQ的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得

消去x，得，其判別式.

設(shè)，則.于是.

設(shè)為PQ的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為. 7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606005816433672/SYS201506260601063990522476_DA/SYS201506260601063990522476_DA.012.png">，所以直線的斜率為，其方程為.

當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

此時(shí)直線的斜率為，其方程為.

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得.

解得. （12分）

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線和橢圓綜合應(yīng)用；3.韋達(dá)定理.