設函數(shù)f(x)=ax-1nx,
(1)若a=2,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)若不等式f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
分析:(1)當a=2,f(x)=2x-1nx,可求得f′(x),利用導數(shù)即可判斷函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)將f(x)=ax-1nx>0恒成立轉化為a>
lnx
x
恒成立,構造函數(shù)g(x)=
lnx
x
,利用導數(shù)可求得g(x)max,從而求得a的范圍.
解答:解:(1)當a=2時,f(x)=2x-1nx,
∴f′(x)=2-
1
x
=
2x-1
x
(x>0),
當0<x<
1
2
,f′(x)<0,f(x)=2x-1nx在(0,
1
2
)上單調遞減;
當x>
1
2
,f′(x)>0,f(x)=2x-1nx在(
1
2
,+∞)上單調遞增;
∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,
1
2
),單調遞增區(qū)間為(
1
2
,+∞);
(2)依題意,∵x>0,
f(x)=ax-1nx>0恒成立
?ax>lnx恒成立
?a>
lnx
x
恒成立
?a>(
lnx
x
)
max

令g(x)=
lnx
x
,則g′(x)=
1-lnx
x2
,
當0<x<e,g′(x)>0,g(x)在(0,e)上單調遞增;
當x>e,g′(x)<0,g(x)在(e,+∞)上單調遞減;
∴g(x)max=g(e)=
1
e

∴a>
1
e
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查函數(shù)恒成立問題,突出構造函數(shù)的應用,考查轉化思想與分類討論思想的運用,屬于難題.
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xx-1
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12
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-1
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x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結果,則f(x)的展開式中常數(shù)項是(  )
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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