Question

函數(shù)f（x）=2^x，f（1）•f^-1（2）+f（2）•f^-1（4）+…+f（n）•f^-1（2ⁿ）=

（n-1）2ⁿ⁺¹+2

．

Answer 1

分析：根據(jù)反函數(shù)求出，a_n=f（n）•f^-1（2ⁿ）=2ⁿ•log₂2ⁿ=n•2ⁿ，的通項公式列舉出數(shù)列{a_n}的前n項和T_n的各項，記作①，兩邊乘以2得到一個等式，記作②，①-②，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式化簡即可求出T_n的通項公式，進而求出數(shù)列的前n項和即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=2^x，
∴f ^-1（x）=log₂x，
∴f（n）•f^-1（2ⁿ）=2ⁿ•log₂2ⁿ=n•2ⁿ，
設(shè)T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②，
①-②得：-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹
=2+2•

4(1-2n-1)

1-2

-n•2n+1
=-[（n-1）2ⁿ⁺¹+2]．
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（14分）
故答案為：（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題主要考查數(shù)列求和的錯位相減法、等比數(shù)列的前n項和公式以及確定等比數(shù)列的方法，考查學生的運算能力．