Question

已知函數f（x）=

bx+c

x+1

的圖象過原點，且關于點（1，1）成中心對稱．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若數列{a_n}（n∈N^*）滿足：an＞0，a1=1，an+1=[f(

an

)]2，求數列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1），易知c=0，即f(x)=

bx

x+1

．又函數f(x)=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的圖象關于點（-1，1）成中心對稱，所以b=1，f(x)=

x

x+1

（2）由題意an+1=[f(

an

)]2，開方取正得：

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=

1

an

+1，得出數列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數列．通過數列{

1

an

}的通項公式求數列{a_n}的通項公式a_n

解答：解：（1）因為函數f(x)=

bx+c

x+1

的圖象過原點，
即f（0）=0，所以c=0，即f(x)=

bx

x+1

．
又函數f(x)=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的圖象關于點（-1，1）成中心對稱，
所以b=1，f(x)=

x

x+1

（2）由題意an+1=[f(

an

)]2，開方取正得：

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=

1

an

+1，所以

1

an+1

-

1

an

=1，
∴數列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數列．
∴

1

an

=1+（n-1）=n，
即

an

=

1

n

，
∴a_n=

1

n2

．

點評：本題是函數與數列的綜合題．考查分式函數的性質，數列通項公式求解．考查轉化構造，運算求解能力．