Question

（1）求函數(shù)y=x+(x＜0)的最大值；

（2）求函數(shù)y=+x(x＞3)的最小值；

（3）求函數(shù)y=x(a-2x)(x＞0,a為大于2x的常數(shù))的最大值.

Answer 1

解:（1）∵x＜0,

∴y=x+=-［(-x)+］≤-2=(當且僅當x=時，取“=”).

∴y_max=.

(2)∵x＞3,

∴y=+x=+(x-3)+3≥5(當且僅當x-3=,即x=4時，取“=”).

∴y_min=5.

(3)∵x＞0,a＞2x,

∴y=x(a-2x)

=·2x·(a-2x)

≤·［］²

=(當且僅當x=時，取“=”).

溫馨提示

(1)使用≥(a、b∈R⁺)，求函數(shù)最值的三個條件：①x、y均為正數(shù)，②xy與x+y有一為定值，③等號一定要取到，此三個條件缺一不可.

（2）此題考查定理“≥(a、b∈R⁺)”及其變形“ab≤()²(a、b∈R⁺)”的應用，同時考查為了使用算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)定理而對數(shù)學式的變形能力.

（3）此題考查函數(shù)f(x)=+bx(a＞0,b＞0,x＞0)最值的求法.可用算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)定理求解，但必須保證等號取到.若等號取不到，可用其單調(diào)性求最值.函數(shù)f(x)=+bx，在x∈（0，］上單調(diào)遞減，在［,+∞)上單調(diào)遞增.