在平面直角坐標系xOy中，動點M到直線x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）2+y2=1的點的最小距離．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）已知過點F的直線與點M的軌跡交于A，B兩點，且|AF|=8，求|BF|的長．
分析：（1）利用動點M到直線x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）2+y2=1的點的最小距離，建立方程，化簡可得點M的軌跡方程；
（2）確定AB的方程，求出A，B的坐標，利用拋物線的定義，即可求得|BF|的長．
解答：解：（1）設動點M（x，y），則
∵動點M到直線x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）2+y2=1的點的最小距離
∴|x+1|=
(x-2)2+(y-0)2-1
，…（3分）
化簡得：6x-2+2|x+1|=y2，
當x≥-1時，y2=8x；                           …（5分）
當x＜-1時，y2=4x-4＜-8，不合題意．
所以點M的軌跡方程為：y2=8x．…（7分）
（2）拋物線的準線方程為x=-2．
過點A作準線的垂線AM，垂足為M，AM交y軸于點E，過點A作x軸垂線，垂足為H．
過點B作準線的垂線BN，垂足為N，
由拋物線的定義知：AF=AM=8．
因為ME=OF=2，所以AE=6，F(xiàn)H=4．
在Rt△AHF中，AF=8，F(xiàn)H=4，所以∠AFH=60°．…（10分）
直線AB的方程為y=
3
（x-2）代入y2=8x，可得
3x2-20x+12=0
∴x=6，或x=
2
3

∴A（6，4
3
），B（
2
3
，-
4
3
3
）．
∴BF=BN=
2
3
+2=
8
3
．           …（14分）
點評：本題考查軌跡方程，考查拋物線的定義，考查學生的計算能力，確定拋物線的方程是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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