20．在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，AC=8（如圖）．如果點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且DE=4．
（1）求AE的長(zhǎng)；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{c}$，試用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$表示下列向量：$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$．

分析 （1）利用勾股定理計(jì)算；
（2）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=4，AD=AB=5，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=3，OE=$\sqrt{D{E}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AE=OA-OE=4-$\sqrt{7}$或AE=OA+OE=4+$\sqrt{7}$．
（2）∵$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=-$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．（文科）如圖所示的封閉曲線C由曲線C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0）和曲線C2：x2+y2=r2（y＜0）組成，已知曲線C1過點(diǎn)（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點(diǎn)A、B分別為曲線C與x軸、y軸的一個(gè)交點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C1和C2的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q是曲線C2上的任意點(diǎn)，求△QAB面積的最大值；
（Ⅲ）若點(diǎn)F為曲線C1的右焦點(diǎn)，直線l：y=kx+m與曲線C1相切于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，直線OM與直線x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$交于點(diǎn)P，求證：MF∥PN．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$經(jīng)過點(diǎn)$（{1，\frac{3}{2}}）$，離心率為$\frac{1}{2}$，設(shè)A、B橢圓C上異于左頂點(diǎn)P的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線PA和PB的傾斜角分別為α和β，且α+β為定值θ（0＜θ＜π）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

8．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6^x}-m，\begin{array}{l}{x＜1}\end{array}\\{x^2}-3mx+2{m^2}，x≥1\end{array}$恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）∪[6，+∞）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

15．已知函數(shù)f（x）+2=$\frac{2}{f（\sqrt{x+1}）}$，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=x2，若在區(qū)間（-1，1]內(nèi)，g（x）=f（x）-t（x+2）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�
A．（0，$\frac{1}{3}$]B．（0，$\frac{1}{2}$]C．[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]D．[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，且對(duì)任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A．（0，$\frac{1}{4}$]B．（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）C．（0，$\frac{1}{2}$]D．[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

12．函數(shù)f（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）-log5x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

9．定義：區(qū)間[x1，x2]（x1＜x2）的長(zhǎng)度為x2-x1，若函數(shù)y=|log2$\frac{x}{2}$|的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇0，2]，則區(qū)間[m，n]長(zhǎng)度的最小值為$\frac{3}{2}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

11．若圓C：（x-$\frac{5}{2}$）2+（y-2）2=$\frac{25}{4}$上有4個(gè)點(diǎn)到直線x-y+a=0的距離為$\frac{1}{2}$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�
A．（-2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$）B．[-2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$]C．（-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$）D．[-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案