Question

在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知．
（1）求cosB的值； （2）求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將cosA的值代入求出cosC的值，發(fā)現(xiàn)cosC的值大于0，由A和B為三角形的內(nèi)角，得到A和B都為銳角，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)cosB，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入即可求出cosB的值；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)已知的等式，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出關(guān)系式，將C=2A代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，進(jìn)而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．
解答：解：（1）∵，
∴cosC=cos2A=2cos²A-1=，
∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴，
∴，，
∴cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）=；
（2）∵•=，
∴，
∴ac=24，
∵，
∴，
由解得，
∴b²=a²+c²-2accosB=，
∴b=5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．