Question

已知函數(shù)f（x）=cos²﹙x+

π

12

﹚，g﹙x﹚=1+

1

2

sin2x．求：
（1）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x₀）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[-

5π

12

，

π

6

]時，若存在實數(shù)m使得方程h﹙x﹚=m有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,二倍角的正弦,余弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求出x₀，即可求g（x₀）的值；
（2）利用倍角公式、兩角和差的正弦公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）求出函數(shù)的值域，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=cos²﹙x+

π

12

﹚=

1

2

+

1

2

cos（2x+

π

6

），
∵x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴令2x+

π

6

=kπ，可得2x₀=kπ-

π

6

，
∴g﹙x₀﹚=1+

1

2

sin2x₀=

5

4

或

3

4

；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

+

1

2

cos（2x+

π

6

）+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ-

π

2

，解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
∴函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）；
（3）x∈[-

5π

12

，

π

6

]，則2x+

π

3

∈[-

π

2

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-1，1]
∴h（x）∈[1，2]，
∵存在實數(shù)m使得方程h﹙x﹚=m有解，
∴實數(shù)m的取值范圍是[1，2]．

點評：本題考查了倍角公式、兩角和差的正弦公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．