Question

（本題滿分18分）如果函數(shù)的定義域為，對于定義域內(nèi)的任意，存在實數(shù)使得成立，則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”．

（1）判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”求出所有的值；若不具有“性質(zhì)”，請說明理由．

（2）已知具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時，求在上的最大值．

（3）設(shè)函數(shù)具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時，．若與交點個數(shù)為2013個，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）具有“性質(zhì)”，其中

（2）當(dāng)時， ；當(dāng)時，

（3）

【解析】

試題分析：（1）由得，

根據(jù)誘導(dǎo)公式得．

具有“性質(zhì)”，其中．                ……4分

（2）具有“性質(zhì)”，．

設(shè)，則，

，                                          ……6分

當(dāng)時，在遞增，時，

當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，且， 時，

當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，且，時

綜上所述：

當(dāng)時， ；當(dāng)時，.   ……11分

（3）具有“性質(zhì)”，

，，

，

從而得到是以2為周期的函數(shù)．

又設(shè)，則，

．

再設(shè)（），

當(dāng)（），則，

；

當(dāng)（），則，；

對于，（），都有，而，，是周期為1的函數(shù)．

①當(dāng)時，要使得與有2013個交點，只要與在有2012個交點，而在有一個交點．過，從而得

②當(dāng)時，同理可得

③當(dāng)時，不合題意．

綜上所述.                                               ……18分

考點：本小題主要考查新定義下函數(shù)性質(zhì)的考查，考查學(xué)生利用新定義解決問題的能力和分類討論思想的應(yīng)用.

點評：分類討論解決問題時，要準(zhǔn)確分類，分類標(biāo)準(zhǔn)要不重不漏，而且討論完之后要討論.