Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（III）證明存在k∈N^*，使得

an+1

an

≤

ak+1

ak

對任意n∈N^*均成立．

Answer 1

（I）解法一：a₂=2λ+λ²+（2-λ）×2=λ²+2²，a₃=λ（λ²+2²）+λ³+（2-λ）×2²=2λ³+2³，
a₄=λ（2λ³+2³）+λ⁴+（2-λ）×2³=3λ⁴+2⁴．
由此可猜想出數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
以下用數(shù)學歸納法證明．
（1）當n=1時，a₁=2，等式成立．
（2）假設(shè)當n=k時等式成立，即a_k=（k-1）λ^k+2^k，
那么，a_k+1=λa_k+λ^k+1+（2-λ）2^k=λ（k-1）λ^k+λ2^k+λ^k+1+2^k+1-λ2^k=[（k+1）-1]λ^k+1+2^k+1．
這就是說，當n=k+1時等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ對任何n∈N^*都成立．
解法二：由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），λ＞0，可得

an+1

λn+1

-(

2

λ

)n+1=

an

λn

-(

2

λ

)n+1，
所以{

an

λn

-(

2

λ

)n}為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0．故

an

λn

-(

2

λ

)n=n-1，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（II）設(shè)T_n=λ²+2λ³+3λ⁴++（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ①
λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵++（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．②
當λ≠1時，①式減去②式，得（1-λ）T_n=λ²+λ³++λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹=

λ2-λn+1

1-λ

-(n-1)λn+1，Tn=

λ2-λn+1

(1-λ)2

-

(n-1)λn+1

1-λ

=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

．
這時數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

+2n+1-2．
當λ=1時，Tn=

n(n-1)

2

．這時數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

n(n-1)

2

+2n+1-2．
（III）證明：通過分析，推測數(shù)列{

an+1

an

}的第一項

a2

a1

最大．下面證明：

an+1

an

＜

a2

a1

=

λ2+4

2

，n≥2．③
由λ＞0知a_n＞0．要使③式成立，只要2a_n+1＜（λ²+4）a_n（n≥2）．因為（λ²+4）a_n=（λ²+4）（n-1）λⁿ+（λ²+4）2ⁿ＞4λ．（n-1）λⁿ+4×2ⁿ=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2a_n+1，n＞2．
所以③式成立．因此，存在k=1，使得

an+1

an

≤

ak+1

ak

=

a2

a1

對任意n∈N^*均成立．