Question

如圖，已知雙曲線（b＞a＞0）且a∈[1，2]，它的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，左右頂點分別為A、B．過F₂作圓x²+y²=a²的切線，切點為T，交雙曲線與P、Q兩點．
（Ⅰ）求證直線PQ與雙曲線的一條漸近線垂直．
（Ⅱ）若M為PF₂的中點，O為坐標(biāo)原點，|OM|-|MT|=1，|PQ|=λ|AB|，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)雙曲線的性質(zhì)表示出漸近線方程，設(shè)出PQ的方程，根據(jù)與圓相切求得圓心到直線的距離為半徑求得k的表達式，進而把兩漸近線的斜率相乘即可．
（Ⅱ）設(shè)出PF的直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用弦長公式表示出|PQ|，同時依題意可知，，推斷出|F₂M|-|MT|=a+1，進而求得b和a的關(guān)系式，然后利用|PQ|和|AB|，表示出λ，利用換元法令t=2a+1，利用函數(shù)的單調(diào)性求得λ的范圍．
解答：解：（Ⅰ）雙曲線的漸近線為，
設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-c），（不妨設(shè)k＜0），由于與圓x²+y²=a²相切，
∴，即，直線PQ的斜率，
因為一三象限的漸近線為，．
所以直線PQ與雙曲線的一條漸近線垂直；
（Ⅱ）
得（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則，
所以
=
=，
因為，，，|OM|-|MT|=1，
代入上式得|F₂M|-|MT|=a+1，
又，
所以b=a+1．
因為|AB|=2a，，
λ=，
令t=2a+1，則，t∈[3，5]，，
因為在[3，5]為增函數(shù)，所以．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生對解析幾何學(xué)知識的綜合運用．