定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
(a-4)x2+2(2-a)x+a與y軸的交點為A，點A到原點的距離不大于1；
（1）求a的范圍；
（2）是否存在這樣的區(qū)間，使對任意a，f（x）在該區(qū)間上為增函數(shù)？若存在，求出該區(qū)間，若不存在，說明理由．
（1）函數(shù)圖象與y軸交點為（0，a），則|a|≤1，∴-1≤a≤1；------------------（3分）
（2）f'（x）=x2+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x2-4x+4，---------------（7分）
令f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，
即不等式g（a）=（x-2）a+x2-4x+4＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，---（9分）
其充要條件是：
g(1)=x2-3x+2＞0
g(-1)=x2-5x+6＞0
，------------（11分）
解得x＜1，或x＞3．--------------（13分）
所以當x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）時，f'（x）＞0對任意a∈[-1，1]恒成立，
所以對任意a∈[-1，1]函數(shù)f（x）均是單調增函數(shù)．--------------（14分）
故存在區(qū)間（-∞，1）和（3，+∞），對任意a∈[-1，1]，f（x）在該區(qū)間內均是單調增函數(shù)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且f（x）的導數(shù)f'（x）在R上恒有f′（x）＜
1
2
（x∈R），則不等式f（x2）＜
x2
2
+
1
2
的解集為（　�。�
A、（1，+∞）
B、（-∞，-1）
C、（-1，1）
D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是實數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若a，b，c滿足b2-3ac＜0，求證：函數(shù)f（x）是單調函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

23、已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)為f'（x），滿足兩個條件：①對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy成立；②f'（0）=2．
（1）求函數(shù)的f（x）的表達式；
（2）對任意x1，x2∈[-1，1]，求證：|f（x1）-f（x2）|≤4|x1-x2|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導數(shù)f'（x）在R上恒有f'（x）＜2，則不等式f（2x）＜4x的解集為
{x|x＞
1
2
}
{x|x＞
1
2
}
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)）使得f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個承托函數(shù)，則下列說法正確的是（　�。�
A、函數(shù)f（x）=x2-2x不存在承托函數(shù)
B、g（x）=x為函數(shù)f（x）=sinx的一個承托函數(shù)
C、g（x）=x為函數(shù)f（x）=ex-1的一個承托函數(shù)
D、函數(shù)f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數(shù)

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