Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=60°．
（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)

CE

=λ

CC1

（0≤A≤1），且平面AB₁E與BB₁E所成的銳二面角的大小為30°，試求λ的值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AB⊥BC₁，在△CBC₁中，由余弦定理求解BC1=

3

，然后證明BC⊥BC₁，利用直線與平面垂直的判定定理證明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）通過AB，BC，BC₁兩兩垂直．以B為原點，BC，BA，BC₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．求出相關(guān)點的坐標，求出平面AB₁E的一個法向量，平面的一個法向量通過向量的數(shù)量積，推出λ的方程，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）證明：因為AB⊥平面BB₁C₁C，BC₁⊆平面BB₁C₁C，所以AB⊥BC₁，…（1分）
在△CBC₁中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=60°，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12-2BC•CC1•cos∠BCC1=1²+2²-2×1×2×cos60°=3，
所以BC1=

3

，…（3分）
故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC₁，…（5分）
又BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC₁兩兩垂直．以B為原點，BC，BA，BC₁所在直線
為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

則B(0，0，0)，  A(0，1，0)，  C(1，0，0)，  C1(0，0，

3

)，B1(-1，0，

3

)．…（7分）
所以

CC1

=(-1，0，

3

)，所以

CE

=(-λ，0，

3

λ)，∴E(1-λ，0，

3

λ)，
則

AE

=(1-λ，-1，

3

λ)，

AB1

=(-1，-1，

3

)．…（8分）
設(shè)平面AB₁E的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n ⊥ AE n ⊥ AB1

，得

(1-λ)x-y+ 3 λz=0 -x-y+ 3 z=0

，
令z=

3

，則x=

3-3λ

2-λ

，  y=

3

2-λ

，∴

n

=(

3-3λ

2-λ

，

3

2-λ

，

3

)，…（9分）
．∵AB⊥平面BB₁C₁C，

BA

=(0，1，0)是平面的一個法向量，…（10分）
∴|cos＜

n

，

BA

＞|=

| n • BA |

| n |•| BA |

=

3 2-λ

1× ( 3-3λ 2-λ )2+( 3 2-λ )2+( 3 )2

=

3

2

．
兩邊平方并化簡得2λ²-5λ+3=0，所以λ=1或λ=

3

2

（舍去）．
∴λ=1…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的向量求解方法，考查空間想象能力計算能力以及邏輯推理能力．